Evoluta lugar geométrico de centros de curvatura de una curva plana.

El lugar geométrico de los centros de curvatura de la evolvente es la circunferencia

 

 Evolvente es la  curva que dibuja el extremo de un cordel sobre una curva llamada evoluta, se utiliza para dar forma a flancos de ruedas dentadas o engranajes de envolventes.Evolvente

 

 Espiral es la curva que circunda un punto o polo con varias vueltas. La espiral es una curva abierta y plana generada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una recta a la vez que esta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante. La distancia longitudinal con que se desplaza el punto en una vuelta completa se llama paso de la espiral. Una espiral es una curva engendrada por un punto móvil que se desplaza en determinado sentido sobre una recta al tiempo que esta gira con movimiento uniforme alrededor de un punto fijo o polo de ella.

 Espirales

 

Según las leyes del movimiento se obtendrán distintas espirales:

  Espiral de Arquímedes curva plana con forma de caracol cuyos tramos individuales poseen distancia constante 2 pi al centro. Si imaginamos una lámina o plancha metálica enrollada sobre sí misma al desenrollarla la curva describe el borde del dicha lámina para trazar la espiral de Arquímedes hacemos un segmento igual al paso dado y después de dividir en partes iguales el segmento hacemos sobre la circunferencia iguales divisiones, la intersección de la radiación con las circunferencias concéntricas son puntos de la espiral arquimediana.

 

 

Hélice cónica es la que engendra un punto que se desplaza por la generatriz de un cono de revolución con movimiento uniforme de manera que está gira con velocidad uniforme alrededor del eje punto cuando el punto que describe la hélice y su proyección horizontal sobre el plano horizontal se mueven con velocidad uniforme sobre la generatriz y por tanto también su proyección la transformada de la hélice sobre el plano es una espiral de Arquímedes. Siempre se da la espiral de Arquímedes cuando la intersección de las circunferencias con las generatrices sean todas equidistantes de manera que la distancia entre las secciones del cono o paralelos son iguales y la distancia entre las generatrices del cono también lo son.

Hélices de varios tipos:

 

 

 Espiral logarítmica es una espiral con un radio vector creciente exponencialmente cuyo ángulo de corte con la tangente permanece constante y que se desarrolla asintóticamente a partir de un punto o polo, aparece en la naturaleza como espiral de crecimiento.  La espiral logarítmica es aquella que mantiene el radio vector con un ángulo constante con la tangente en cualquier punto de ella. La espiral  logarítmica está formada por una radiación sobre la que se ponen puntos de manera que el siguiente está multiplicado por el mismo número mientras que la hiperbólica es la inversa de esta. En el caso de que el punto se mueva sobre la generatriz de forma que las tangentes formen siempre el mismo ángulo con las generatrices el ángulo que forman con sus proyecciones horizontales también es constante y la proyección horizontal y transformada es una espiral logarítmica.

 

 

 La espiral hiperbólica está formada por un conjunto de puntos situados a una distancia constante de una recta que pasa por el centro, es inversa de la de Arquímedes. Si  representamos una hélice en perspectiva cónica y colocamos el punto de vista sobre el eje de esa hélice en la perspectiva de la misma es una espiral hiperbólica de manera que el eje es normal al cuadro y el cilindro tangente al plano geometral.

 

 La voluta es una curva plana y abierta compuesta por arcos de circunferencia enlazados entre sí y cuyos centros son los vértices del polígono regular llamado núcleo o matriz. A las prolongaciones de los lados de los polígonos se les llama radios vectores del núcleo y el paso es igual al perímetro del núcleo.

 

La espiral de Teodoro es aquella cuyos dos primeros puntos son el extremo de un lado del cuadrado y el otro extremo que corresponde a una diagonal sobre este último punto se pone un lado ortogonal del mismo tamaño que el del cuadrado, con lo cual colocaremos un triángulo rectángulo siendo este último el cateto de igual tamaño y la hipotenusa nueva raíz de tres, colocaremos luego otro triángulo rectángulo cuyo cateto sigue siendo la unidad y la hipotenusa raíz de cuatro y así sucesivamente.

 

Hélice esférica es la que engendra un punto que se mueve sobre una semicircunferencia al tiempo que ésta gira alrededor de su diámetro describiendo la superficie esférica. Si los dos movimientos son uniformes se obtiene una hélice y las tangentes tienen la misma inclinación respecto al meridiano que pasa por el punto de tangencia obteniendo la hélice loxodrómica. Ésta hélice corta a todos los meridianos siempre bajo el mismo ángulo y se acerca al polo superior de forma asintótica.

Hélice esférica

 

Espiral que proyecta en planta la loxodrómica

 

La ortodrómica o geodésica es la distancia más corta entre dos puntos de la esfera, es también el arco del círculo máximo que los une o también está formado por un arco de la esfera de manera que su circunferencia tiene como punto el centro de la esfera.

Cuando un barco navega con rumbo constante la distancia recorrida no es la más corta porque describe una loxodrómica y sabemos que la más corta es la geodésica de la esfera, para este caso se exceptúa el Ecuador y los meridianos ya que son realmente geodésicas.

 

 

Trazar geodésica de cono dados 2 de sus puntos:

Ortodrómica de cono en diédrico (geodésica):

Loxodrómica de esfera con AutoCAD:

Loxodrómica de cono, diédrico y axonometría: